포털:고등학교/수학/수학 II/3배각의 공식의 증명

틀:수학잇기 틀:상태상자 삼각함수의 3배각의 공식을 증명합니다. 이를 잘 이해하기 위해서, 먼저 삼각함수의 덧셈정리를 참고해 주세요.

필요한 공식들

• 삼각함수의 덧셈정리

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$

• 2배각의 공식

$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$

$\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$

$\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$

3배각의 공식 증명

일단 $3\theta$를 $𝜃\mathrm{+}2𝜃$로 나눠 대입합니다. 그러면

$\begin{array}{cc}\sin 3\theta & =\sin (\theta +2\theta )\\ & =\sin \theta \cos 2\theta +\cos \theta \sin 2\theta \\ & \mathrm{=}\sin 𝜃\mathrm{(}1\mathrm{-}2{\sin }^2𝜃\mathrm{)}\mathrm{+}\cos 𝜃\mathrm{(}2\sin 𝜃\cos 𝜃\mathrm{)}\\ & \mathrm{=}\sin 𝜃\mathrm{-}2{\sin }^3𝜃\mathrm{+}2\sin 𝜃{\cos }^2𝜃\\ & \mathrm{=}\sin 𝜃\mathrm{-}2{\sin }^3𝜃\mathrm{+}2\sin 𝜃\mathrm{(}1\mathrm{-}{\sin }^2𝜃\mathrm{)}\mathrm{=}3\sin 𝜃\mathrm{-}4{\sin }^3𝜃\end{array}$

코사인, 탄젠트 함수도 이와 마찬가지로 정리하면 됩니다. 코사인과 탄젠트는 따로 다루지 않겠습니다.

결론

$\sin 3𝜃\mathrm{=}3\sin 𝜃\mathrm{-}4{\sin }^3𝜃$

$\cos 3𝜃\mathrm{=}4{\cos }^3𝜃\mathrm{-}3\cos 𝜃$

$\tan 3𝜃\mathrm{=}\frac{3\tan 𝜃\mathrm{-}{\tan }^3𝜃}{1\mathrm{-}3{\tan }^2𝜃}$