포털:고등학교/수학/수학 II/4배각의 공식의 증명

틀:수학잇기 틀:상태상자 삼각함수의 4배각의 공식을 증명합니다. 이를 잘 이해하기 위해서, 먼저 삼각함수의 덧셈정리를 참고해 주세요.

필요한 공식들

• 삼각함수의 덧셈정리

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$

• 2배각의 공식

$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$

$\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$

$\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$

4배각의 공식 증명

일단 $4\mathit{\theta }$를 $2\mathit{\theta }\mathrm{+}2\mathit{\theta }$로 나눠 대입합니다. 그러면

$\begin{array}{cccc}\sin 4\mathit{\theta }& \mathrm{=}& \sin \mathrm{(}2\mathit{\theta }\mathrm{+}2\mathit{\theta }\mathrm{)}& \\ & \mathrm{=}& \sin 2\mathit{\theta }\cos 2\mathit{\theta }\mathrm{+}\cos 2\mathit{\theta }\sin 2\mathit{\theta }& \\ & \mathrm{=}& 2\sin \mathit{\theta }\cos \mathit{\theta }\mathrm{(}1\mathrm{-}2{\sin }^2\mathit{\theta }\mathrm{)}\mathrm{+}\mathrm{(}1\mathrm{-}2{\sin }^2\mathit{\theta }\mathrm{)}2\sin \mathit{\theta }\cos \mathit{\theta }& \\ & \mathrm{=}& 4\sin \mathit{\theta }\cos \mathit{\theta }\mathrm{-}8{\sin }^3\mathit{\theta }\cos \mathit{\theta }& \end{array}$

코사인, 탄젠트 함수도 이와 마찬가지로 정리하면 됩니다. 코사인과 탄젠트는 따로 다루지 않겠습니다.

결론

$\begin{array}{cc}& \sin 4\mathit{\theta }\mathrm{=}4\sin \mathit{\theta }\cos \mathit{\theta }\mathrm{-}8{\sin }^3\mathit{\theta }\cos \mathit{\theta }\\ & \cos 4\mathit{\theta }\mathrm{=}8{\cos }^4\mathit{\theta }\mathrm{-}8{\cos }^2\mathit{\theta }\mathrm{+}1\\ & \tan 4\mathit{\theta }\mathrm{=}\frac{4\tan \mathit{\theta }\mathrm{-}4{\tan }^3\mathit{\theta }}{1\mathrm{-}6{\tan }^2\mathit{\theta }\mathrm{+}{\tan }^4\mathit{\theta }}\end{array}$