포털:고등학교/수학/적분과 통계/부정적분 공식

일반적인 적분공식

• $\int af(x)dx=a\int f(x)dx\text{(}a\text{ constant)}$
• $\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$
• $\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\ln |f(x)|+C$

유리함수의 적분

• $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\text{ if }n\ne -1$
• $\int x^{-1}dx=\ln \left|x\right|+C$

삼각함수의 적분

• $\int \cos xdx=\sin x+C$
• $\int \sin xdx=-\cos x+C$
• $\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C$
• $\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C$
• $\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$
• $\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$
• $\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$
• $\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$
• $\int {\sin }^{2}mxdx=\frac{1}{2m}(mx-\sin mx\cos mx)+C$
• $\int {\cos }^{2}mxdx=\frac{1}{2m}(mx+\sin mx\cos mx)+C$

증명

아래 공식의 증명이 필요합니다.

• $\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C$
• $\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C$
• $\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$
• $\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$
• $\int {\sin }^{2}mxdx=\frac{1}{2m}(mx-\sin mx\cos mx)+C$
• $\int {\cos }^{2}mxdx=\frac{1}{2m}(mx+\sin mx\cos mx)+C$

지수함수의 적분

• $\int e^{x}dx=e^x+C$
• $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$

로그함수의 적분

• $\int \ln xdx=x\ln x-x+C$
• $\int {\log }_{a}xdx=x{\log }_{a}x-\frac{x}{\ln a}+C$

증명

부분적분법을 이용합니다.

• $\int \ln xdx=x\ln x-\int x\cdot \frac{1}{x}dx=x\ln x-x+C$